Geometrija za neupućene

Geometrija je predmet pun matematičkog bogatstva i lepote. Stari Grci su se uveliko bavili, i vekovima je bila oslonac za srednji nivo obrazovanja. Danas nijedno obrazovanje nije potpuno bez bar malog poznavanja osnovnih principa geometrije.

Ali geometrija je takođe predmet koji zbunjuje mnoge učenike jer je toliko različit od matematike koju su ranije radili. Geometrija zahteva da koristite deduktivnu logiku u formalnim dokazima. Ovaj proces uključuje posebnu vrstu verbalnog i matematičkog zaključivanja koja je nova za mnoge učenike. Videti kuda dalje ići u dokazu, ili čak odakle početi, može biti izazov. Predmet takođe uključuje rad sa dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim oblicima: poznavanje njihovih svojstava, pronalaženje njihovih površina i zapremina i zamišljanje kako bi izgledali kada se pomeraju. Ovaj element prostornog rezonovanja geometrije je još jedna stvar koja je čini drugačijom i izazovnom.

Geometrja za neupućene, 3. izdanje, može vam biti od velike pomoći ako ste udarili u zid koji se zove geometrija. Ili ako ste student geometrije, knjiga vas može sprečiti da udarite u zid. Kada vam se otvori svet geometrije i stvari počnu da klikću, možda ćete zaista ceniti ovu temu, koja fascinira ljude milenijumima i koja nastavlja da privlači ljude ka karijeri u umetnosti, inženjerstvu, arhitekturi, planiranju grada, fotografije i kompjuterske animacije, između ostalog.

Sadržaj
O ovoj knjizi, 1
Konvencije koje se koriste u ovoj knjizi, 2
Šta ne morate da čitate, 2
Glupe pretpostavke, 3
Ikone korišćene u ovoj knjizi, 3
Posle ove knjige, 4
Kuda ići odavde, 4

DEO 1: OSNOVE GEOMETRIJE, 5
POGLAVLJE 1: Uvod u geometriju, 7
Geometrija oblika, 8
Jednodimenzionalni oblici, 8
Dvodimenzionalni oblici, 8
Trodimenzionalni oblici, 10
Upoznavanje sa geometrijskim dokazima, 10
Lakši put do dokaza na svakodnevnom primeru, 11
Pretvaranje svakodnevne logike u dokaz, 11
Jednostavan geometrijski dokaz, 12
Da li ću ovo ikada koristiti?, 13
Kada ćete iskoristiti svoje znanje o oblicima, 13
Kada ćete iskoristiti svoje znanje o dokazima, 14
Zašto nećete imati problema sa geometrijom, 15

POGLAVLJE 2: Izgradnja vaše geometrijske osnove, 17
Uđimo u definicije, 17
Nekoliko tačaka o tačkama, 21
Prave, duži i poluprave koje upućuju na razne strane, 22
Horizontalne i vertikalne prave, 22
Udvostručavanje sa parovima prava, 22
Istraživanje činjenica o ravni, 24
Uglovi su svuda, 25
Tri vrste uglova: oštar, tup i prav, 25
Parovi uglova, 26

POGLAVLJE 3: Određivanje veličine duži i analiza uglova, 29
Merenje duži i uglova, 29
Merenje duži, 29
Merenje uglova, 30
Dodavanje i oduzimanje duži i uglova, 33
Podela na dva ili tri: bisekcija i trisekcija, 34
Bisekcija i trisekcija duži, 34
Bisekcija i trisekcija ugla, 35
Dokazivanje zaključaka o slikama, 36

DEO 2: UVOD U DOKAZE, 39
POGLAVLJE 4: Prvi koraci dokaza, 41
Upoznavanje sa osnovom: komponente formalnih geometrijskih dokaza, 42
Zaključivanje sa ako-onda logikom, 43
Ako-onda lanci logike, 44
Imate svoje razloge: definicije, teoreme i postulate, 45
Logika oblačića za dokaze u dve kolone, 46
Kretanje po dve kolone dokaza, 47

POGLAVLJE 5: Početni komplet lakih teorema i kratkih dokaza, 49
Komplementarni i suplementarni uglovi, 49
Sabiranje i oduzimanje: Osam ne tako strašnih teorema, 53
Teoreme sabiranja, 53
Teoreme oduzimanja, 57
Sviđa vam se množenje i deljenje? Onda su ove teoreme za vas!, 59
Dosije X: Podudarni naspramni uglovi su tamo negde, 62
Svojstva prenosivosti i zamene, 63

POGLAVLJE 6: Ultimativni vodič za rešavanje dužeg dokaza, 67
Pravljenje plana igre, 68
Korišćenje svega datog, 69
Koristite ako-onda logiku, 69
Uklanjanje problema, 71
Skakanje napred i rad unazad, 72
Popunjavanje praznina, 74
Pisanje završenog dokaza, 75

DEO 3: TROUGLOVI: POLIGONI SA TRI STRANICE, 77
POGLAVLJE 7: Osnove razumevanja trouglova, 79
Stranice trougla, 79
Nejednakostranični trouglovi, 80
Jednakokraki trouglovi: dva lepa kraka, 81
Jednakostranični trouglovi: Svi delovi su jednaki, 81
Uvođenje principa nejednakosti trougla, 82
Upoznavanje trouglova po njihovim uglovima, 83
Povećanje veličine površine trougla, 84
Skaliranje visina, 84
Određivanje površine trougla, 85
Lociranje „centara“ trougla, 89
Balansiranje u težištu, 89
Pronalaženje još tri „centra“ trougla, 91

POGLAVLJE 8: U vezi sa pravouglim trouglovima, 95
Primena Pitagorine teoreme, 95
Pregled Pitagorinih trojki trouglova, 101
Omiljene četiri Pitagorine trojke trouglova, 101
Porodice Pitagorinih trouglova, 103
Upoznavanje sa dva posebna pravougla trougla, 105
Trougao od 45°- 45°- 90° – pola kvadrata, 106
Trougao od 30°- 60°- 90° – polovina jednakostraničnog trougla, 107

POGLAVLJE 9: Dokazivanje podudarnih trouglova, 111
Uvod u tri načina da se dokaže podudarnost trouglova, 112
SSS: Korišćenje metode stranica-stranica--stranica, 112
SUS: Koristimo pristup stranica-ugao--stranica, 114
USU: Zahvat ugao-stranica-ugao, 116
ODPTSP: Korak dalje u dokazima podudarnih trouglova, 118
Definisanje ODPTSP, 119
Rešavanje ODPTSP dokaza, 120
Razmatranje teorema jednakokrakog trougla, 122
Još dva načina da se dokaže podudarnost trouglova, 124
UUS: Korišćenje teoreme ugao-ugao-stranica, 124
HKP: Pravi pristup za pravougle trouglove, 126
Rastojanje u dve teoreme jednake udaljenosti, 128
Određivanje normalne simetrale, 128
Korišćenje normalne simetrale, 129
Pravljenje plana igre za duži dokaz, 131
Indirektni dokazi, 133

DEO 4: POLIGONI SA ČETIRI ILI VIŠE STRANICA, 137
POGLAVLJE 10: Sedam svetskih čuda četvorougla, 139
Početni koraci sa svojstvima paralelnih prava, 140
Ukrštanje prava sa transverzalama: Definicije i teoreme, 140
Primena transverzalnih teorema, 141
Rad sa više od jedne transverzale, 143
Upoznavanje sa sedam članova četvorougaone porodice, 145
Gledajući četvorougaone odnose, 146
Rad sa pomoćnim pravama, 147
Svojstva četvorouglova, 149
Svojstva paralelograma, 149
Svojstva tri posebna paralelograma, 152
Svojstva zmaja (deltoida), 155
Osobine trapeza i jednakokrakog trapeza, 156

POGLAVLJE 11: Dokazivanje da imate određen četvorougao, 159
Spajanje svojstava i metoda dokazivanja, 160
Dokazivanje da je četvorougao paralelogram, 162
Sigurni načini za identifikaciju paralelograma, 162
Pokušajmo neke dokaze paralelograma, 163
Dokazivanje da je četvorougao pravougaonik, romb ili kvadrat, 166
Ubrzavanje dokaza pravougaonika, 167
Razni dokazi o rombovima, 168
Četiri dokazi kvadrata, 170
Dokazivanje da je četvorougao zmaj (deltoid), 171

POGLAVLJE 12: Formule poligona: površina, uglovi i dijagonale, 175
Izračunavanje površine četvorouglova, 175
Formule za površine četvorougla, 176
Iza kulisa formula, 176
Pokušavam sa nekoliko zadataka sa površinama, 178
Pronalaženje površine pravilnih poligona, 182
Formula za površinu poligona, 183
Rešavanje raznih problema sa površinama, 183
Korišćenje formula za ugao i dijagonale poligona, 187
Dizajn enterijera i eksterijera: Istraživanje uglova poligona, 187
Rešavanje zadataka sa uglovima poligona, 188
Ukrštanje sa dijagonalama, 189

POGLAVLJE 13: Sličnost: isti oblik, druga veličina, 191
Početni koraci sa sličnim slikama, 192
Definisanje i imenovanje sličnih poligona, 192
Kako se slične slike poklapaju, 193
Rešavanje problema sličnosti, 195
Dokazivanje sličnosti trouglova, 197
Rešavanje UU dokaza, 197
Korišćenje SSS~ za dokazivanje sličnosti trouglova, 198
Rad sa SUS~ dokazom, 200
OUSTP i OSSTP, rođaci ODPTSP-a, 201
Rad na dokazu sa OUSTP, 201
OSSTP dokaz, 202
Podela pravouglog trougla sa teoremom o visini nad hipotenuzom, 203
Dobijanje proporcionalnosti sa još tri teoreme, 206
Teorema o podeli stranice: Nateraće vas da podelite stranice, 206
Raskrsnica: Proširena teorema podele stranice, 208
Teorema o simetrali ugla, 210

DEO 5: RAD SA RAZNIM KRUGOVIMA, 213
POGLAVLJE 14: Osnove kruga, 215
Pravi razgovori o krugovima: poluprečnici i tetive, 216
Definisanje poluprečnika, tetiva i prečnika, 216
Upoznavanje sa pet teorema o krugu, 216
Prolazak kroz dokaz, 217
Korišćenje dodatnih poluprečnika za rešavanje problema, 218
Delovi kruga: lukovi i centralni uglovi, 220
Tri definicije za vaše matematičko zadovoljstvo, 220
Šest teorema o krugu, 221
Okušajte se u nekim dokazima, 223
O tangentama, 225
Uvod u tangentnu pravu, 225
Problem zajedničke tangente, 226
Šetnja okolo, 228

POGLAVLJE 15: Formule i teoreme krugova, 231
Formula za parče pice, 232
Određivanje dužine luka, 232
Pronalaženje površine isečka i odsečka, 235
Sve zajedno u jednom zadatku, 236
Razumevanje teorema i formula ugla i luka, 237
Uglovi na krugu, 237
Uglovi unutar kruga, 239
Uglovi izvan kruga, 241
Držite se formula ugao-luk, 242
Teorema množenja, 244
Rešavanje tetiva sa teoremom množenja tetivama, 244
Teorema o množenju tangente i sečice, 245
Teorema o množenju dve sečice, 246
Kondenzovanje teorema množenja u jednu ideju, 248

DEO 6: ZARONIMO U 3D GEOMETRIJU, 249
POGLAVLJE 16: 3D prostor: dokazi u višoj ravni postojanja, 251
Prave normale na ravni, 251
Paralelne, normalne i prave i ravni koje se seku, 255
Četiri načina za određivanje ravni, 255
Interakcije linija i ravni, 256

POGLAVLJE 17: Uvod u geometriju čvrstih tela, 259
Tela sa ravnim vrhom, 259
Dolazak do tačke vrha tela, 265
Lopta za kraj, 270

DEO 7: POSTAVLJANJE, TAČKE I SLIKE: ALTERNATIVNE GEOMETRIJSKE TEME, 273
POGLAVLJE 18: Koordinatna geometrija, 275
Koordinatna ravan, 275
Formule nagiba, udaljenosti i središta, 277
Nagib, 277
Formula za rastojanje, 279
Formula središta, 280
Upotreba formula u zadatku, 281
Analitičko dokazivanje svojstava, 283
Korak 1: Crtanje opšte slike, 283
Korak 2: Algebarsko rešavanje problema, 284
Dešifrovanje jednačina za prave i kružnice, 286
Jednačine prave, 287
Standardna jednačina kružnice, 288

POGLAVLJE 19: Geometrijske transformacije, 291
Reflekcije, 292
Upoznavanje sa orijentacijom, 293
Pronalaženje linije refleksije, 294
Translacije, 296
Translacija je jednaka dvema refleksijama, 296
Pronalaženje elemenata translacije, 298
Rotacija, 300
Rotacija je jednaka dvema refleksijama, 300
Pronalaženje centra rotacije i jednačina dve linije refleksije, 301
Klizna refleksija, 305
Klizna refleksija je jednaka trima refleksijama, 305
Pronalaženje glavne reflektujuće prave, 306

POGLAVLJE 20: Nalaženje skupova i konstrukcija, 309
Zadaci sa skupom: ulazak u pravi skup, 310
Proces u četiri koraka za zadatke sa skupom, 310
Zadaci sa dvodimenzionalnim skupom, 311
Trodimenzionalni zadaci sa skupovima, 315
Crtanje pomoću osnovnog alata: konstrukcije, 317
Tri metode kopiranja, 317
Podela po pola ugla i duži, 320
Konstrukcije dve međusobno normalne prave, 322
Konstruisanje paralelnih pravih i njihovo korišćenje za deljenje duži, 323

DEO 8: DESET VELIČANSTVENIH, 327
POGLAVLJE 21: Deset stvari koje se koriste kao razlozi u dokazima geometrije, 329
Svojstvo refleksije, 329
Naspramni uglovi su podudarni, 330
Teoreme paralelnih pravih, 330
Dve tačke određuju pravu, 331
Svi poluprečnici kruga su podudarni, 331
Ako stranice, onda uglovi, 332
Ako uglovi, onda stranice, 332
Postulati i teoreme podudarnosti trougla, 332
ODPTSP, 333
Postulati i teoreme sličnosti trouglova, 333

POGLAVLJE 22: Deset geometrijskih zanimljivosti, 335
Eureka! Arhimedovo otkrovenje pomoću kade, 335
Određivanje π, 336
Zlatni presek, 336
Obim Zemlje, 337
Keopsova Velika piramida, 338
Udaljenost do horizonta, 338
Kretanje projektila, 339
Most Golden Gate, 340
Geodetska kupola, 340
Fudbalska lopta, 341

INDEKS, 343

O autoru
Mark Ryan je diplomirao na Univerzitetu Brown i Pravnom fakultetu Univerziteta Wisconsin, predaje matematiku od 1989. On vodi Matematički centar u Winnetki, Ilinois (www.themathcenter.com), gde predaje matematiku za mlađe i srednje škole, uključujući uvod u aritmetiku. U srednjoj školi je dva puta postigao savršenih 800 na matematičkom takmičenju, i ne samo da zna matematiku, već ima dar da je objašnjava na razumljivom engleskom. Četiri godine se bavio pravom pre nego što je odlučio da radi nešto u čemu uživa i da iskoristi svoj prirodni talenat za matematiku. Rajan je član Udruženja autora i Nacionalnog saveta nastavnika matematike.

Rajan živi u Evanstonu, Ilinois. Hobi su mu pešačenje, skijanje, tenis na platformi i putovanja. Navija za Čikago Blekhokse.